teorema de pitagoras

                                                       

Teorema de Pitágoras

Se conoce como teorema a la proposición que puede ser demostrada de manera lógica a partir de un axioma o de otros teoremas que ya hayan sido respectivamente demostrados. En este contexto es fundamental respetar algunas reglas de inferencia para arribar a dicha demostración. Pitágoras de Samos (582 a.C.–507 a.C.), asimismo, fue un filósofo y matemático de origen griego. A diferencia de lo que puede llegar a suponerse, Pitágoras no fue quien creó el teorema que lleva su nombre. Dicho teorema fue desarrollado y aplicado mucho tiempo antes en Babilonia y la India; sin embargo, la escuela pitagórica (y no el propio Pitágoras) fue pionera en hallar una demostración formal para este teorema. Pitágoras podemos decir además que está considerado como el primer matemático puro de toda la Historia y ayudó de manera sólida al desarrollo de áreas científicas como es el caso de las citadas Matemáticas pero también de la geometría, la aritmética, la astronomía y la música. Y todo gracias tanto a su citado teorema como a otros importantes descubrimientos como la significación funcional de los números o la inconmensurabilidad de los lados y de la diagonal de lo que es el cuadrado.En concreto, se puede decir que el denominado teorema de Pitágoras señala que el cuadrado de la hipotenusa, en los triángulos rectángulos, es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Para comprender esta sentencia, hay que tener en cuenta que un triángulo que se identifica como rectángulo es aquel que posee un ángulo recto (es decir, que mide 90º), que la hipotenusa consiste en el lado de más longitud de dicha figura (y opuesto al ángulo recto) y que los catetos se caracterizan por ser los dos lados menores del triángulo recto.La importancia que tiene, por tanto, este teorema que ahora nos ocupa es que nos permite descubrir una medida en base a dos datos concretos. Es decir, aquel supuso un paso importante dentro del ámbito matemático porque consiguió que conociendo las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo podamos averiguar cual es la longitud del tercer lado.En 1927, el matemático E. S. Loomis recopiló más de 350 demostraciones del teorema de Pitágoras. Loomis clasificó dichas demostraciones en cuatro grupos: las demostraciones geométricas, que se realizan en base a la comparación de áreas; las demostraciones algebraicas, desarrolladas en función del vínculo entre los lados y los segmentos del triángulo; las demostraciones dinámicas, que apelan a las propiedades de fuerza; y las demostraciones cuaterniónicas, que surgen con el uso de vectores.En el caso de las demostraciones geométricas habría que destacar que muchos son los autores o científicos que a lo largo de la historia las han llevado a cabo. Entre ellos habría que resaltar, por ejemplo, al gran filósofo Platón, que las desarrolló en sus famosos diálogos, o al matemático Euclides.Las algebraicas también han propiciado que diversos personajes hayan decidido, de un modo u otro, plantearlas, desarrollarlas y demostrarlas de una manera real y palpable. Así, en este caso, habría que citar a figuras tan ilustres como Leonardo da Vinci que ha llevado a cabo la construcción y demostración de esta forma del citado Teorema de Pitágoras. La teoría de Pitágoras, también conocida como teoría de la hipotenusa ,nos muestra la principal relación existente en los triángulos rectángulos y que es famosa desde hace ya bastante tiempo, esta teoría indica que el elevar al cuadrado el lado opuesto del triángulo rectángulo, que conocemos como hipotenusa, nos da el mismo resultado que si elevamos al cuadrado cada uno de los lados restantes, conocidos como catetos, y los sumamos. Aunque no se encontraron documentos que prueben que el autor de la teoría de Pitágorasfuera este, existen demostraciones basadas en la semejanza que existen en los triángulos que le son atribuidas a este gran pensador que vivió en el siglo V a.C. Lo cierto es que Pitágoras y la academia pitagórica que fundó y dirigió le brindaron a la raza humana grandes herramientas que hasta el día de hoy son fundamentales para la resolución de problemas que si bien parecen simples, debemos reconocer todo el estudio previo que existe para poder llegar a una formula tan simple como la fórmula de la teoría de Pitágoras gracias a la cual podemos resumir nuestros cálculos y encontrar respuesta con mayor rapidez. La simplicidad de la teoría de Pitágoras y la gran cantidad de aplicaciones que se le puede dar hacen que sea una teoría matemática que se enseñe desde los primeros años de estudio. Hace años, un hombre llamado Pitágoras descubrió un hecho asombroso sobre triángulos: Si el triángulo tiene un ángulo recto (90°) y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces... ¡el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos! El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la definición formal es: En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto) Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²): a2 + b2 = c2 ¿Seguro... ? Veamos si funciona con un ejemplo. Un triángulo de lados "3,4,5" tiene un ángulo recto, así que la fórmula debería funcionar. Veamos si las áreas son la misma: 32 + 42 = 52 Calculando obtenemos: 9 + 16 = 25 ¡sí, funciona! ¿Por qué es útil esto? Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado. (¡Pero recuerda que sólo funciona en triángulos rectángulos!) ¿Cómo lo uso? Escríbelo como una ecuación: a2 + b2 = c2 Ahora puedes usar álgebra para encontrar el valor que falta, como en estos ejemplos: a2 + b2 = c2 52 + 122 = c2 25 + 144 = 169 c2 = 169 c = √169 c = 13 a2 + b2 = c2 92 + b2 = 152 81 + b2 = 225 Resta 81 a ambos lados b2 = 144 b = √144 b = 12 Teorema de Pitágoras.- En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Demostración:  Si tenemos un triángulo rectángulo como el del dibujo del enunciado del teorema podemos construir un cuadrado que tenga de lado justo lo que mide el cateto b, más lo que mide el cateto c, es decir b+c, como en la figura de la derecha. El área de este cuadrado será (b+c)2. Si ahora trazamos las hipotenusas de los triángulos rectángulos que salen tendremos la figura de la izquierda. El área del cuadrado, que es la misma de antes, se puede poner ahora como la suma de las áreas de los cuatro triángulos rectángulos azules (base por altura partido por 2): más el área del cuadrado amarillo . Es decir, el área del cuadrado grande también es el área del cuadrado pequeño más 4 veces el área del triángulo: Podemos igualar las dos formas de calcular el área del cuadrado grande y tenemos: si ahora desarrollamos el binomio , nos queda: que después de simplificar resulta lo que estábamos buscando: Teorema de Pitágoras: Fórmula El teorema de Pitágoras comprende una fórmula bastante sencilla ya que sólo se necesitan saber los conceptos básicos de la teoría de triángulos rectángulos y la teoría de exponentes para que se pueda tener el conocimiento necesario para su aplicación. La fórmula del teorema de Pitágoras se puede expresar en forma simbólica de la siguiente forma: hipotenusa2 = primerCateto2 + segundoCateto2 Que obedece al teorema, el cual en palabras simples indica “La cantidad de unidades que comprende la hipotenusa elevada al cuadrado es igual a la adición de la medida de ambos catetos elevados al cuadrado”. Demostración del teorema de Pitágoras usando álgebra Podemos ver que a2 + b2 = c2 usando el Álgebra Mira este diagrama... tiene dentro un triángulo "abc" (en realidad tiene cuatro): Es un gran cuadrado, cada lado mide a+b, así que el área es: A = (a+b)(a+b) Ahora sumamos las áreas de los trozos más pequeños: Primero, el cuadrado pequeño (inclinado) tiene área A = c² Y hay cuatro triángulos, cada uno con área A =½ab Así que los cuatro juntos son A = 4(½ab) = 2ab Si sumamos el cuadrado inclinado y los 4 triángulos da: A = c²+2ab El área del cuadrado grande es igual al área del cuadrado inclinado y los 4 triángulos. Esto lo escribimos así: (a+b)(a+b) = c²+2ab Ahora, vamos a operar a ver si nos sale el teorema de Pitágoras: Empezamos con: (a+b)(a+b) = c²+2ab Desarrollamos (a+b)(a+b): a²+2ab+b² = c²+2ab Restamos "2ab" de los dos lados: a²+b² = c²